allegropajew:

> zasada wariacyjna to sposób poszukiwania FUNKCJI, która ekstremalizuje

> (zazwyczaj minimalizuje) zadaną całkę z tejże nieznanej funkcji.

To może ja to przełożę na nasze, a Ty mnie popraw, gdybym coś powiedział nie tak. Ale, proszę, nie czepiaj się uproszczeń, które specjalnie wprowadzam po to, żeby całość była strawniejsza dla niematematyka.

Prosty problem optymalizacyjny polega na tym, że mamy funkcję F o wartościach rzeczywistych i szukamy takiego argumentu x, żeby F(x) było możliwie największe (lub w innych zadaniach — najmniejsze). Na przykład jeśli F(x) to wysokość punktu x nad poziomem morza, to szukamy najwyższego szczytu; a jeśli to jest temperatura w punkcie x, to szukamy najcieplejszego miejsca. Dziedziną, z której czerpiemy argumenty x dla funkcji F, jest zwykle wielowymiarowa przestrzeń euklidesowa, czyli proste uogólnienie naszej 3-wymiarowej przestrzeni na dowolną skończoną liczbę wymiarów. Przy pewnych założeniach o funkcji F dla znalezienia takiego optymalnego punktu x można posłużyć się rachunkiem różniczkowym.

Bardziej skomplikowany problem optymalizacyjny otrzymujemy, gdy mamy określony pewien funkcjonał¹ na krzywych i szukamy takiej krzywej, na której wartość tego funkcjonału będzie ekstremalna (największa lub najmniejsza). Na przykład chcemy w terenie górzystym przejść z punktu A do punktu B możliwie najmniejszym wysiłkiem, a wysiłek na jakiejś drodze liczymy tak jak punkty na Górską Odznakę Turystyczną: po punkcie za każdy kilometr drogi liczony poziomo i po ekstra punkcie za każde 100 metrów podejścia. Czasem więc może się opłacać obejść jakiś szczyt zamiast walić na skróty przez jego wierzchołek. Na tym forum już kilka razy była mowa o geodezyjnych, czyli właśnie o takich krzywych na różnych powierzchniach, na których minimum osiąga funkcjonał długości.

W fizyce (nawet w całkiem klasycznej mechanice newtonowskiej) można tak dobrać rozpatrywane funkcjonały, że krzywe, po których naprawdę poruszają się obiekty materialne, to są dokładnie te krzywe, na których te funkcjonały osiągają ekstremum (minimum lub maksimum); to znaczy to są zawsze dorgi ,,najmniejszego wysiłku” — z tym, że definicja wysiłku może być różna dla różnych zagadnień. Rachunek wariacyjny, o którym mówił Allegropajew, to taki odpowiednik zwykłego rachunku różniczkowego dla przypadku, gdy argumentami funcjonałów są krzywe, a nie zwykłe punkty przestrzeni euklidesowej. W tym bardziej skomplikowanym przypadku rachunek wariacyjny pomaga znajdować krzywe ekstremalne funkcjonałów, w podobny sposób jak zwykły rachunek różniczkowy pomaga znajdować punkty ekstremalne funkcji.

Czy coś stało się jaśniejsze?

– Stefan

————————-

¹ Przez funkcjonał rozumie się zwykle funkcję, określoną na rzeczach bardziej skomplikowanych niż zwykłe punkty; np. funkcję działającą na funkcje, albo funkcję działającą na krzywych.

New